Черка, за бесплатно не надо. Что вы себя на помойке что ль нашли?
Еще очень важно не бояться отказа. Это тоже чувствуется, и отражается на том, как и что вы говорите. Наоборот надо приподнести ситуацию так, что они много потеряют если не возьмут именно вас, а вы-то себе работу найдете.
Если вакансия не открыта, то почему бы не послать? Вам от этого плохо что ль будет?
Но лучше не просто послать и сидеть ждать, а звонить. Пытаться поговорить. И если именно такой вакансии нет, спросить может есть какая другая. Может что-то похожее подберется.